» »

Vprašanje iz verjetnosti

Vprašanje iz verjetnosti

zanibani ::

zdravo. na forum se obračam z naslednjim vprašanjem.
Na kratko, imamo podano slučajno spremelnjivko X enakomerno razporejeno na -1 do 1, ter Y enakomerno razporejen -2 do 2. X in Y sta neodvisni. Tvorimo slučajni vektor (X,Y)... ker sta X in Y neodvisni je p(x,y)=1/8 (prej poračunano p(x)=1/2 p(y)=1/4). Tvorimo Z=X+Y... zanima nas gostota Z, tj p(z)... območje si lepo narišem, jasno mi je, da za z večje od 3 in manjše od -3 ni dosti za komentirat, vem da je tam gosota 0, vem, da obstaja formula za izračun gostote f(X,Y), a ne vem, kako določati meje pri integraciji. Za lažje razumevanje naloge prilagam screenshot. Vsem idejam se zahvaljujem

stapler rump ::

Vse imaš napisano v zapiskih, samo nekoliko zmedeno je:

Gostota verjetnosti pz(z) je enaka integralu px,y(x,z-x) po x od minus neskončno do minus neskončno.

Veš, da je px,y(x,y) enak 1/8 ob pogojih -1 < x < 1 in -2 < y < 2 oziroma 0 v ostalih primerih.

Iz tega sledi, da lahko integral od minus neskočno do plus neskončno zapišeš kot integral po področju, kjer je funkcija različna od nič. To področje moraš izraziti kot funkcijo z.

Še pravi, vprašaš se: Pri določenem z, katere vrednosti lahko zavzame x, da je -1 < x < 1 in -2 < y = z-x < 2? Odgovor je presek intervalov (-1, 1) in (z-2, z+2).

Sedaj obravnavaš različne primere, glede na to, kakšen je presek teh dveh intervalov:

  • Pri z < -3 preseka ni,

  • pri -3 < z < -1 je presek (-1,z+2),

  • pri -1 < z < 1 je presek (-1,1),

  • pri 1 < z < 3 je presek (1,z-2),

  • pri 3 < z preseka ni


Ustrezno tem presekom računaš integrale, ki jih imaš na desni strani tvojih zapiskov (pri prvem ti manjka en x, mimogrede)

zanibani ::

Super, mi je jasno, hvala za odgovor. Mogoče še tole, prosil bi le za meje pri integraciji:

px= 1/x2; x>1, 0 sicer
py=1/y2; y>1, 0 sicer

(X,Y) neodvisna, torej p(x,y)=1/x2y2 za x>1,y>1, 0 sicer
Z=XY+X -> Y=Z/X -1. Zanima nas pz.
Vemo z manjši od 1 gostota 0, spet pa mi probleme delajo meje pri z večji od 1.
Integriram po x od -inf do inf s tem da p(x,g(x,z)) pomnožim z absolutno vrednostjo odvoda g po z.

Hvala za odgovor

Menim, da integriramo od 1 do z/2 ?

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: zanibani ()

stapler rump ::

Vemo z manjši od 1 gostota 0 [...] Menim, da integriramo od 1 do z/2 ?

Za z > 2 je interval integriranja po x od 1 do z/2.

Za z <= 2 je pz(z) = 0.

Postopek je enak kot pri prejšnji nalogi. Nariši si intervale za x > 1 in y = z/x-1 > 1 na številsko premico za x, če si ne znaš predstavljati.

Unilseptij ::

zanibani je izjavil:

zdravo. na forum se obračam z naslednjim vprašanjem.
Na kratko, imamo podano slučajno spremelnjivko X enakomerno razporejeno na -1 do 1, ter Y enakomerno razporejen -2 do 2. X in Y sta neodvisni. Tvorimo slučajni vektor (X,Y)... ker sta X in Y neodvisni je p(x,y)=1/8 (prej poračunano p(x)=1/2 p(y)=1/4). Tvorimo Z=X+Y... zanima nas gostota Z, tj p(z)... območje si lepo narišem, jasno mi je, da za z večje od 3 in manjše od -3 ni dosti za komentirat, vem da je tam gosota 0, vem, da obstaja formula za izračun gostote f(X,Y), a ne vem, kako določati meje pri integraciji. Za lažje razumevanje naloge prilagam screenshot. Vsem idejam se zahvaljujem


Ker sem se že lotil še odgovor z natančno rešitvijo, v bistvu samo do konca poračunano, kar je že podal stapler_rump:

px(x)= 1/2 na intervalu x=[-1,1] in 0 povsod drugje
py(y)= 1/4 na intervalu y=[-2,2] in 0 povsod drugje

Če upoštevaš z=x+y in po izračunu za porazdelitev vsote dveh neodvisnih spremenljivk dobiš, kot si napisal:

pz(z)= INT px(x)py(z-x)dx, pri čemer gre integral od -neskončno do +neskončno.

Zdaj je treba paziti pri obravnavi tega integrala. Imaš vsaj naslednje območja, ki jih je potrebno poračunati posebej:
x < -1, z-x=karkoli: V tem primeru bo izraz pod integralom 0, ker je funkcija px(x)=0 za x < -1. Torej je spodnja meja pri integraciji lahko kar -1.
x > 1, z-x=karkoli: Tudi v tem primeru bo izraz pod integralom 0, ker je funkcija px(x)=0 za x > 1. Torej je zgornja meja pri integraciji lahko kar 1.

Zdaj imamo že malo bolj poenostavljen izraz:
pz(z)=INT 1/2*py(z-x)dx, pri čemer gre integral od -1 do 1, kjer je px(x) kar 1/2. Ta integral zdaj lahko obravnavaš naprej:
z-x < -2: V tem primeru je izraz pod integralom 0, ker je funkcija py(z-x)=0 za z-x < -2 oziroma x > z+2. Ker x teče od -1 do 1 bo pogoju zadoščeno na celotnem intervalu x=[-1,1] le, če bo z < -3.
z-x > 2: V tem primeru je izraz pod integralom 0, ker je funkcija py(z-x)=0 za z-x > 2. Ker x teče od -1 do 1 bo pogoju zadoščeno na celotnem intervalu x=[-1,1] le, če bo z > 3.
-2 < z-x < 2: V tem primeru izraz pod integralom py(z-x) lahko zavzame različne vrednosti, ko x teče med [-1,1] in z med [-3,3]. Očitno sta neenakosti vedno izpolnjeni v primeru, ko je z=[-1,1], zato je pz(z-x) vedno 1/4 za z=[-1,1]. Zdaj nam ostaneta le še intervala z=[-3,-1] in z=[1,3]. V prvem primeru bo izpolnjena neenakost -2 < z-x, če x < z+2, druga neenakost z-x < 2 pa bo vedno izpolnjena. V drugem primeru, ko je z=[1,3] pa bo izpolnjena neenakost z-x < 2, če x > z-2, neenakost -2 < z-x pa bo vedno izpolnjena. Funkcija pz(z) je torej:
pz(z)=0, za z < -3,
pz(z)=INT 1/2*1/4*dx v mejah od -1 do z+2 oziroma 1/8*(z+3), za z=[-3,-1],
pz(z)=INT 1/2*1/4*dx v mejah od -1 do 1 oziroma 1/8*2, za z=[-1,1],
pz(z)=INT 1/2*1/4*dx v mejah od z-2 do 1 oziroma 1/8*(3-z), za z=[1,3],
pz(z)=0, za z > 3.

Zgodovina sprememb…

zanibani ::

Hvala obema za čas in razumljiv odgovor...

Isotropic ::

OP katero knjigo uporabljate oz. imate kakšen online vir vaj...?

zanibani ::

zanibani ::

Imam vprašanje iz pogojnih matematičnih upanj. Podan je slučajni vektor z gostoto p(X,Y)(x,y), ni bistveno kakšen. Zanima me E(X+Y|X-Y). To je treba malo razstavit, v prvem koraku upoštevam linearnost pogojnega matematičnega upanja, potem pa še pogojujem pogojno matematično upanje. Koraki so opisani spodaj, zanima me, če je moja rešitev pravilna.

E(X+Y|X-Y)=E(X|X-Y)+E(Y|X-Y)=E(E(X|X-Y)|Y)+E(E(Y|X-Y)|X)=E(X|Y)+E(Y|X)

miha98 ::

Pa fukni bek to ke boš s tem....

Randomness ::

Dvomim, da je tole pravilno. A lahko bolj natančno specificiraš, preko katerih porazdelitev delaš posamezna matematična upanja?


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

naslednji dve nalogi iz Matematike 2

Oddelek: Šola
201455 (1005) lebdim
»

Matematika-problem

Oddelek: Šola
81297 (1071) Math Freak
»

Pomoč pri matematiki(čim hitreje)

Oddelek: Šola
241485 (967) lebdim
»

Pomoč pri nalogi.

Oddelek: Šola
131426 (1132) Jean-Paul
»

diferencialne enacbe

Oddelek: Šola
62229 (2073) A. Smith

Več podobnih tem