Vprašanje iz verjetnosti

zdravo. na forum se obračam z naslednjim vprašanjem.
Na kratko, imamo podano slučajno spremelnjivko X enakomerno razporejeno na -1 do 1, ter Y enakomerno razporejen -2 do 2. X in Y sta neodvisni. Tvorimo slučajni vektor (X,Y)... ker sta X in Y neodvisni je p(x,y)=1/8 (prej poračunano p(x)=1/2 p(y)=1/4). Tvorimo Z=X+Y... zanima nas gostota Z, tj p(z)... območje si lepo narišem, jasno mi je, da za z večje od 3 in manjše od -3 ni dosti za komentirat, vem da je tam gosota 0, vem, da obstaja formula za izračun gostote f(X,Y), a ne vem, kako določati meje pri integraciji. Za lažje razumevanje naloge prilagam screenshot. Vsem idejam se zahvaljujem

Super, mi je jasno, hvala za odgovor. Mogoče še tole, prosil bi le za meje pri integraciji:

p_x= 1/x²; x>1, 0 sicer
p_y=1/y²; y>1, 0 sicer

(X,Y) neodvisna, torej p_(x,y)=1/x²y² za x>1,y>1, 0 sicer
Z=XY+X -> Y=Z/X -1. Zanima nas p_z.
Vemo z manjši od 1 gostota 0, spet pa mi probleme delajo meje pri z večji od 1.
Integriram po x od -inf do inf s tem da p(x,g(x,z)) pomnožim z absolutno vrednostjo odvoda g po z.

Hvala za odgovor

Menim, da integriramo od 1 do z/2 ?

zanibani je 5. feb 2016 ob 23:57 izjavil:

zdravo. na forum se obračam z naslednjim vprašanjem.
Na kratko, imamo podano slučajno spremelnjivko X enakomerno razporejeno na -1 do 1, ter Y enakomerno razporejen -2 do 2. X in Y sta neodvisni. Tvorimo slučajni vektor (X,Y)... ker sta X in Y neodvisni je p(x,y)=1/8 (prej poračunano p(x)=1/2 p(y)=1/4). Tvorimo Z=X+Y... zanima nas gostota Z, tj p(z)... območje si lepo narišem, jasno mi je, da za z večje od 3 in manjše od -3 ni dosti za komentirat, vem da je tam gosota 0, vem, da obstaja formula za izračun gostote f(X,Y), a ne vem, kako določati meje pri integraciji. Za lažje razumevanje naloge prilagam screenshot. Vsem idejam se zahvaljujem

Ker sem se že lotil še odgovor z natančno rešitvijo, v bistvu samo do konca poračunano, kar je že podal stapler_rump:

px(x)= 1/2 na intervalu x=[-1,1] in 0 povsod drugje
py(y)= 1/4 na intervalu y=[-2,2] in 0 povsod drugje

Če upoštevaš z=x+y in po izračunu za porazdelitev vsote dveh neodvisnih spremenljivk dobiš, kot si napisal:

pz(z)= INT px(x)py(z-x)dx, pri čemer gre integral od -neskončno do +neskončno.

Zdaj je treba paziti pri obravnavi tega integrala. Imaš vsaj naslednje območja, ki jih je potrebno poračunati posebej:
x < -1, z-x=karkoli: V tem primeru bo izraz pod integralom 0, ker je funkcija px(x)=0 za x < -1. Torej je spodnja meja pri integraciji lahko kar -1.
x > 1, z-x=karkoli: Tudi v tem primeru bo izraz pod integralom 0, ker je funkcija px(x)=0 za x > 1. Torej je zgornja meja pri integraciji lahko kar 1.

Zdaj imamo že malo bolj poenostavljen izraz:
pz(z)=INT 1/2*py(z-x)dx, pri čemer gre integral od -1 do 1, kjer je px(x) kar 1/2. Ta integral zdaj lahko obravnavaš naprej:
z-x < -2: V tem primeru je izraz pod integralom 0, ker je funkcija py(z-x)=0 za z-x < -2 oziroma x > z+2. Ker x teče od -1 do 1 bo pogoju zadoščeno na celotnem intervalu x=[-1,1] le, če bo z < -3.
z-x > 2: V tem primeru je izraz pod integralom 0, ker je funkcija py(z-x)=0 za z-x > 2. Ker x teče od -1 do 1 bo pogoju zadoščeno na celotnem intervalu x=[-1,1] le, če bo z > 3.
-2 < z-x < 2: V tem primeru izraz pod integralom py(z-x) lahko zavzame različne vrednosti, ko x teče med [-1,1] in z med [-3,3]. Očitno sta neenakosti vedno izpolnjeni v primeru, ko je z=[-1,1], zato je pz(z-x) vedno 1/4 za z=[-1,1]. Zdaj nam ostaneta le še intervala z=[-3,-1] in z=[1,3]. V prvem primeru bo izpolnjena neenakost -2 < z-x, če x < z+2, druga neenakost z-x < 2 pa bo vedno izpolnjena. V drugem primeru, ko je z=[1,3] pa bo izpolnjena neenakost z-x < 2, če x > z-2, neenakost -2 < z-x pa bo vedno izpolnjena. Funkcija pz(z) je torej:
pz(z)=0, za z < -3,
pz(z)=INT 1/2*1/4*dx v mejah od -1 do z+2 oziroma 1/8*(z+3), za z=[-3,-1],
pz(z)=INT 1/2*1/4*dx v mejah od -1 do 1 oziroma 1/8*2, za z=[-1,1],
pz(z)=INT 1/2*1/4*dx v mejah od z-2 do 1 oziroma 1/8*(3-z), za z=[1,3],
pz(z)=0, za z > 3.

OP katero knjigo uporabljate oz. imate kakšen online vir vaj...?

Imam vprašanje iz pogojnih matematičnih upanj. Podan je slučajni vektor z gostoto p_(X,Y)(x,y), ni bistveno kakšen. Zanima me E(X+Y|X-Y). To je treba malo razstavit, v prvem koraku upoštevam linearnost pogojnega matematičnega upanja, potem pa še pogojujem pogojno matematično upanje. Koraki so opisani spodaj, zanima me, če je moja rešitev pravilna.

E(X+Y|X-Y)=E(X|X-Y)+E(Y|X-Y)=E(E(X|X-Y)|Y)+E(E(Y|X-Y)|X)=E(X|Y)+E(Y|X)

Dvomim, da je tole pravilno. A lahko bolj natančno specificiraš, preko katerih porazdelitev delaš posamezna matematična upanja?