Matematika[polinomi]

Dan je polinom p(x)=x^4-3x^3+ax^2+bx-3. Za kateri realni števili a in b pri deljenju polinoma p s polinomom q(x)=x^2-4x-5 dobite ostanek 67x+62?

Mi lahko kdo prosim pomaga rešit to nalogo, skušal sem jo rešit s Hornerjevim algoritmom, žal ne dobim nobene lepe enačbe

Polinom lahko zapišeš kot:
p(x) = k(x)*q(x) + o(x)
torej...
x^4-3x^3+ax^2+bx-3 = (x^2-4x-5)*k(x) + 67x+62

Veš da je pri deljenju polinoma 4 stopnje s polinomom druge stopnje, mora biti koeficient tudi 2 stopnje, polinom druge stopnje pa se zapiše kot :
x^2 + cx + d

Torej....
k(x) = x^2 + cx + d

iz česar sledi
x^4-3x^3+ax^2+bx-3 = (x^2-4x-5)*(x^2 + cx + d) + 67x+62

Sedaj desno stran pporačunaš in izpostaviš potence števila x. Nato pa izenačiš koeficiente pri istih potencah ter rešiš sistem enačb.

Zkj si uvedu novo neznanko, če mas samo a pa b, kaj ti bo c in d?
MoffKlast - Ne, ni tako.

Zxan - Kalast*. In ali si popolnoma prepričan?

Neznanke lahko dodajaš po želji samo pri tem moraš biti dosleden. Hmm naj premislim, lahko narediš tudi tako ja, samo se mi zdi veliko bolj preprosto množiti z novima neznankama, kot pa s členom (a*nekaj + b*nekaj)*x^nekaj

Ta ekonomičen način sem ti ravnokar predstavil. Ti nalimam slikco.

S hornerjevim alg dobis ostanek ;) in koeficiente polinoma k(x)

OKEJ PROBI REŠT , DA TE VIDM!!! (!brez uporabe kakrsnihkol programov!)

V zgornjem primeru ti Hornerjev algoritem ne bo čisto nič pomagal, ker nimaš točke, v kateri bi lahko izračunal vrednost.

Bo pomagal ker se da x^2-4x-5 razcepit in dobis (x-5)(x+1) in v Hornerja vstavis -1 in drugič 5

Dobim isto, c=1 in d=13 ;) poskusi, malo skrajšam tvoj način reševanja naloge, ki tudi ni napačen

Zixan je 28. mar 2015 ob 23:47 izjavil:

Dobim isto, c=1 in d=13 ;) poskusi, malo skrajšam tvoj način reševanja naloge, ki tudi ni napačen

Res je, je pa to hitrejši način če imaš konjugirano kompleksni ničli, ker jih samo pomnožiš pa ni več i-jev.

Torej, take vrste nalog se nanašajo na osnovni izrek o deljenju polinomov. Na koncu se sicer sam postopek privede na izenačitev koeficientov in na reševanje linearnih sistemov enačb. Zato je dobro zate, da za začetek dobro ponoviš reševanje linearnih sistemov, če ti ne grejo. V kolikor pa ti gredo linearni sistemi, mislim, da pri tovrstnih nalogah ne bi smel imeti težav.
Je pa res, da je kar nekaj računanja, vendar na koncu se vse zgosti na izenačitev koeficientov in na reševanje linearnih sistemov. Reševanje sistemov bo ena najpogostejših metod tukaj pri polinomih ...

Mimogrede, zgornja naloga ti pove, da če polinom p(x) = x⁴ - 3x² + 4x² + 10x - 3 deliš s polinomom q(x) = x² - 4x - 5, boš dobil kvocient k(x) = x² + x + 13 in ostanek 67x + 62.

še nekaj, Zixan:

sam Hornerjev postopek ti v zgornjem primeru ne bo nič pomagal. Vseeno je namreč, če se tale kvocient k(x) da razstaviti. Lahko bi ga uporabil le v primeru, če bi naloga zahtevala, da je ostanek pri deljenju polinoma p s polinomom q enak 0. Ker pa imaš v nalogi podan ostanek, pa Hornerjevega algoritma tukaj ne moreš uporabiti.

Malenkost, ni za kaj ... polinome in pa funkcije pa res obvladam v nulo! Saj veš, rad pomagam, če lahko ... Navsezadnje bo tudi to moj poklic - profesor računalništva in matematike

PS: A si dobil na mail ene teste, kontrolne naloge?

Če si šel razcepit bi bilo lažje če bi ničli samo ustavil v p(x) in bi dobil sistem dveh enačb.

@Zixan,

kot rečeno, v tem primeru, ko je bil k(x) razcepen, si ti kar uporabil Hornerjev algoritem. Ampak, v katerem drugem primeru, pa k(x) ne bo tak, da se ga bo dalo razstaviti - bo nerazcepen, in H A ne boš mogel uporabiti. Zato še enkrat preberi moj nasvet