matematika - pomoč

Poletni rok za izpit,...UNI. Pa saj ni važno,... lahko kdo pomaga? :)

(2) da, za vsak del moraš posebej izračunat limito. Tehnično za prvi del desno in za drugi del levo limito, a pri teh funkcijah je tako ali tako vseeno.
Obe sta vrsti "0/0" in lahko uporabiš l'Hopitalovo pravilo.
Iščeš pa seveda, da sta obe limiti enaki.

(4a) baza indukcije mora biti trivialna (n=1). Indukcijski korak: 1/(1*5)+1/(5*9)+...+1/((4n-3)(4n+1))+1/((4n+1)(4n+5))=n/(4n+1)+1/((4n+1)(4n+5))=(n(4n+5)+1)/((4n+1)(4n+5)). Upoštevaš (4n+1)(n+1)=4n^2+5n+1, krajšaš in si doma.

(4b) Po točki (a) so delne vsote oblike n/(4n+1), te pa konvergirajo k 1/4

Mene zanima, kako odvajaš naslednji del:

y = (1+ 2x)*e^x
to je enako
y = e^x + 2x*e^x
torej je odvod
y' = e^x + (2*e^x + 2x*e^x)

To kar je v oklepaju ni pravilno, vendar zakaj? Saj sem odvajal po pravilu odvod produkta.

Hvala.

kot gledam po rešitvah je pravilno;

3e^x + 2x*e^x

Pravzaprav bi lahko s pomočjo Newton-Leibnitzeve formule našli splošni odvod f⁽ⁿ⁾.
Glede na to, da bi lahko pisali, da je f(x) = (2x + 1)e^x sestavljena iz g(x) = 2x + 1 in h(x) = e^x, potem razmišljaš takole:

n-ti odvod funkcije h(x) = e^x je h⁽ⁿ⁾(x) = e^x. Funkcija g(x) = 2x + 1 pa ima samo en neničelni odvod; g'(x) = 2, vsi naslednji odvodi pa so enaki 0.

Zato bi lahko zapisali: f⁽ⁿ⁾(x) = h⁽ⁿ⁾(x)*g(x) + n * g'(x) * h^(n-1)(x) = e^x*(2x + 1) + n * 2 * e^x = e^x(2x + 2n + 1).

To bi sicer lahko dokazali z indukcijo, ampak ne bomo. Sedaj s pomočjo tega lahko izračunaš katerikoli odvod.

Če bi te zanimal recimo 2015-ti odvod, bi vstavil: f⁽²⁰¹⁵⁾(x) = e^x(2x + 2*2015 + 1) = e^x(2x + 4031). Če bi moral pa izračunati recimo 2015-ti odvod v x = 1, pa bi še x = 1 vstavil: f⁽²⁰¹⁵⁾(1) = e(2*1 + 4031) = 4033e.

In sploh preveriš za n = 1, prvi odvod:

f⁽¹⁾(x) = e^x(2x + 2*1 + 1) = e^x(2x + 3), kar smo isto izračunali zgoraj v prejšnjem postu.

Sicer pa en nasvet: Takle opisan način lahko uporabljaš le takrat, ko imaš n-krat odvedljivo funkcijo in zapisano funkcijo kot produkt dveh funkcij. Je pa to osnovni primer izračuna splošnega n-tega odvoda, katerega ste pri analizi zagotovo vzeli.

Glede na to, da se n-ti odvod potem vzame še za Taylorjevo vrsto, se potem stvari povežejo ...

Astra je res super zadevica. Zelo je uporabna pri inštrukcijah in verjamem, da tudi pri pouku v gimnaziji oz. srednji šoli. Pa tudi za ponovitev srednješolske matematike, ki je predpogoj za univerzitetno matematiko.

Ne štekam, kaj bi rad ...

ponavadi se piše x dx v integralu.

Ne moreš. dx je v bistvu bazni vektor kotangentnega vektorskega prostora ... ampak malo sem že pozabil vse to.

Verjetno imaš dx/x, kar diši po logaritmu: dln(x) = dx/x.

Aha, mi je že jasno, dx spodaj je oznaka za odvajanje. ampak potem moraš tudi zgoraj pisati d pred funkcijo, katero želiš odvajati.

Lahko pa integriraš d(2x)/dx in sicer se ti dx (v eni dimenziji) pokrajša.

Prišel si do enačbe: v⁴ dx = x dv. Sedaj moraš spremenljivki "ločiti". Ločiš jih takole:
dx / x = dv / v⁴. Oz. s potencami: x^-1dx = v^-4dv. Sedaj pa to integriraš.