Forum » Šola » Trigonometrične enačbe
Trigonometrične enačbe
Zixan ::
Imam eno vprašanje in sicer, zakaj pri tej nalogi zgubim eno rešitev enačbe:
cot(x)=sin^2(x/2)-cos^2(x/2)
cot(x)=-cos(x)
cos(x)/sin(x)=-cos(x)
1/sin(x)=-1
sin(x) = -1 ---> x=3Pi/2+2kPi
druga rešitev enačbe pa naj bi bila x2 = Pi/2 + 2kPi, tako piše v rešitvah .. Vem, da se da enačbo rešit na drug način in sicer tako da das -cos(x) na drugo stran in potem das na skupni imenovalec, ampak zakaj s tem postopkom ne dobim vseh možnih rešitev?
cot(x)=sin^2(x/2)-cos^2(x/2)
cot(x)=-cos(x)
cos(x)/sin(x)=-cos(x)
1/sin(x)=-1
sin(x) = -1 ---> x=3Pi/2+2kPi
druga rešitev enačbe pa naj bi bila x2 = Pi/2 + 2kPi, tako piše v rešitvah .. Vem, da se da enačbo rešit na drug način in sicer tako da das -cos(x) na drugo stran in potem das na skupni imenovalec, ampak zakaj s tem postopkom ne dobim vseh možnih rešitev?
Yacked2 ::
Jaz sem rešil takole:
-najprej na desni strani sin^2(x/2) in cos^2(x/2) obdelaš z obrazem za polovične kote in dobiš (1-cosx)/2 - (1+cosx/2), pred tem se ti tisti +- in koren skvadrirata.
-damo na skupni imenovalec desno stran in dobimo -cosx
-damo vse na levo stran, cot raztavimo na cos/sin in damo na skupni imenovalec
-v števcu izpostavimo cosx, in dobimo:
(Cos[x] (1 + Sin[x]))/Sin[x] == 0
iz tukaj dobimo dve novi enačbi:
Cos[x] = 0 in Sin[x] = -1
iz tega dobiš da se ti rešitvi pokrivata (oziroma, cos[x] = 0, vsebuje tudi vse rešiteve sin[x] = -1), zato lahko rešimo samo prvo.
cos(x) = 0
x = Pi/2 + kPi, za k EUR Z
Ja nesmeš enačbe kar deliti z x :/ Tako izgubljaš rešitve.
-najprej na desni strani sin^2(x/2) in cos^2(x/2) obdelaš z obrazem za polovične kote in dobiš (1-cosx)/2 - (1+cosx/2), pred tem se ti tisti +- in koren skvadrirata.
-damo na skupni imenovalec desno stran in dobimo -cosx
-damo vse na levo stran, cot raztavimo na cos/sin in damo na skupni imenovalec
-v števcu izpostavimo cosx, in dobimo:
(Cos[x] (1 + Sin[x]))/Sin[x] == 0
iz tukaj dobimo dve novi enačbi:
Cos[x] = 0 in Sin[x] = -1
iz tega dobiš da se ti rešitvi pokrivata (oziroma, cos[x] = 0, vsebuje tudi vse rešiteve sin[x] = -1), zato lahko rešimo samo prvo.
cos(x) = 0
x = Pi/2 + kPi, za k EUR Z
Ja nesmeš enačbe kar deliti z x :/ Tako izgubljaš rešitve.
Korak naprej ni vedno ustrezen...sploh če si na robu prepada!
Zgodovina sprememb…
- spremenil: Yacked2 ()
lebdim ::
ja v bistvu zato ker s preoblikovanjem oz. dejstvom, da je sin2(x / 2) - cos2(x/2) = - cos(x) rešuješ enačbo cot(x) = - cos(x) oz. cot(x) + cos(x) = 0.
in če daš na skupni imenovalec, dobiš ulomek: (cos(x)*(sin(x) + 1)/(sin(x)) = 0. to bo pa enako 0 takrat, ko bo cos(x) = 0 , kar se zgodi pri x1 = Pi/2 + k*Pi; k element Z in sin(x) = -1. to se zgodi pri x2 = (3*pi/2) + k*2pi; k € Z in pri x3 = (-pi/2) + k*2pi; k € Z.
vedno moraš upoštevati vse možnosti.
+Yacked2, ta "trik", ki si ga opisal zgoraj, se ponavadi uporablja pri računanju integralov kotnih funkcij ...
in če daš na skupni imenovalec, dobiš ulomek: (cos(x)*(sin(x) + 1)/(sin(x)) = 0. to bo pa enako 0 takrat, ko bo cos(x) = 0 , kar se zgodi pri x1 = Pi/2 + k*Pi; k element Z in sin(x) = -1. to se zgodi pri x2 = (3*pi/2) + k*2pi; k € Z in pri x3 = (-pi/2) + k*2pi; k € Z.
vedno moraš upoštevati vse možnosti.
+Yacked2, ta "trik", ki si ga opisal zgoraj, se ponavadi uporablja pri računanju integralov kotnih funkcij ...
Zgodovina sprememb…
- spremenil: lebdim ()
joze67 ::
Če povzamem:
OP je zgrešil tukaj:
OP je zgrešil tukaj:
cos(x)/sin(x)=-cos(x)...ker je delil ("krajšal") s cos(x), ki pa ni vedno neničeln. Na tem mestu mora OP reči, "če je cos(x) = 0 (in je x...), je leva stran enaka desni. Če pa ni (in x ni ...), pa lahko delim in..."
1/sin(x)=-1
Vredno ogleda ...
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
|---|---|---|---|
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
| » | matematika- trigonometrijaOddelek: Šola | 2681 (1977) | lebdim |
| » | Matematika - kotne funkcije pomočOddelek: Šola | 1751 (1635) | amigo_no1 |
| » | trigonometrične enačbeOddelek: Šola | 2046 (1929) | tasy9 |
| » | logaritem ...Oddelek: Šola | 1338 (1068) | McHusch |
| » | LimitiranjeOddelek: Znanost in tehnologija | 3142 (2332) | CHAOS |