Forum » Šola » Absolutna neenačba (težja)
Absolutna neenačba (težja)
mlamat ::
Prosim če mi lahko kdo da kak nasvet kako naj rešim tole neenačbo:
|x^3 - x^2| < |x^2 + x|
Rešitev naj bi bila (1 - sqrt(2), 0) U (0, 1 + sqrt(2))
|x^3 - x^2| < |x^2 + x|
Rešitev naj bi bila (1 - sqrt(2), 0) U (0, 1 + sqrt(2))
lebdim ::
ja, najprej določi kjer je x3 - x2 pozitiven, določi kje je x2 + x pozitiven, kje sta oba izraza negativna, in kje je en izraz pozitiven in kje negativen ...
mlamat ::
Ravno sem ti mislu sporočit, hehe.
Hvala ti še enkrat.
Ne vem, zakaj nisem sam prišel do tega. Mogoče zato, ker sem prej reševal gnezdene primere in me je zmedlo. :/
Hvala ti še enkrat.
Ne vem, zakaj nisem sam prišel do tega. Mogoče zato, ker sem prej reševal gnezdene primere in me je zmedlo. :/
Math Freak ::
Tisto (x(x2-2x-1)) sam poprav na razstavljeno obliko (s pomočjo diskriminante) na x(x-(1-sqrt(2)))(x-(1+(sqrt(2)))), v glavnem koncept je bil pravilen, sam cifre niso bile =p.
mlamat ::
Še zdaj ne kapiram zakaj smo zavrgli 1. rešitev in sprejeli 4. Po teoriji naj bi imela takšna abs. neenačba samo 3 preverjanja?
Math Freak ::
Zgleda sem se mal uštel pri postopku, ni tako lahko kakor zgleda ...
Moraš si obe funkciji pod absolutno vrednostjo narisat pa pogledat kje sta pozitivni oziroma negativni in iz tega sklepaš kateri so intervali.
Upam da je to prav zdaj, bom preveril enkrat ko bom imel več časa.
Ni tako simpl
Moraš si obe funkciji pod absolutno vrednostjo narisat pa pogledat kje sta pozitivni oziroma negativni in iz tega sklepaš kateri so intervali.
Upam da je to prav zdaj, bom preveril enkrat ko bom imel več časa.
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
mlamat ::
Vem da sem siten, samo še zmeraj ne razumem zakaj pri 1. odpade (-inf, 1-sqrt(2)), ne pa tudi (0, 1+sqrt(2)), saj imamo vendar pogoj x>=1.
Math Freak ::
Nisi nič siten =), oba postopka sta pravilna, samo da sem že malo pozabil katere rešitve potem odpadejo, ko imaš enkrat interval dan. V bistvu moraš gledat na presek obeh intervalov, tako da imamo pri drugi rešitev (0,1), ki je pa že tako vpoštevana pri prvem primeru. Jaz sem pa pomotoma gledal kje je funkcija pozitivna.
Math Freak ::
Nevem kako se mi je ratal tolikokrat zmotit, lol (talent pač).
Da zaključiva s tem =) (gledava drugi list z rešitvami):
1) Vzameš presek od x znotraj (-inf,1-sqrt(2)) unija (0,1+sqrt(2)) in (x>=1) in dobiš x znotraj [1,1+sqrt(2)).
2) Vzameš presek x znotraj [0,1) in x znotraj (0,inf) in dobiš x znotraj (0,1).
3) Vzameš presek x znotraj [-1,0) in x znotraj (1-sqrt(2),0) unija (1+sqrt(2),inf) in dobiš x znotraj (1-sqrt(2),0).
4) Vzameš presek x znotraj (-inf,-1) in x znotraj (0,inf) in dobiš prazno množico.
Na koncu za skupno rešitev vzameš unijo vseh delnih rešitev. Sepravi vse je blo OK razen kere rešitve odpadejo (dobimo jih pa na podlagi preseka intervalov). Sori za zmedo =).
Da zaključiva s tem =) (gledava drugi list z rešitvami):
1) Vzameš presek od x znotraj (-inf,1-sqrt(2)) unija (0,1+sqrt(2)) in (x>=1) in dobiš x znotraj [1,1+sqrt(2)).
2) Vzameš presek x znotraj [0,1) in x znotraj (0,inf) in dobiš x znotraj (0,1).
3) Vzameš presek x znotraj [-1,0) in x znotraj (1-sqrt(2),0) unija (1+sqrt(2),inf) in dobiš x znotraj (1-sqrt(2),0).
4) Vzameš presek x znotraj (-inf,-1) in x znotraj (0,inf) in dobiš prazno množico.
Na koncu za skupno rešitev vzameš unijo vseh delnih rešitev. Sepravi vse je blo OK razen kere rešitve odpadejo (dobimo jih pa na podlagi preseka intervalov). Sori za zmedo =).
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
Math Freak ::
Rešil sem ti še eno podobno nalogo, da sem preveril, kateri način je lažji za računanje. Sam se odloči =p. Zmotiš se lahko hitro pri obeh.
Prvi način
Drugi način
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
mlamat ::
A mi lahko prosim samo podrobno razložiš, kako si dobil omejitve pri recimo 2. točki mojega primera.
A ni tako, da imaš:
(x^3 - x^2) < 0
(-inf, 0) U (0, 1)
(x^2 + x) >= 0
(- inf, -1] U [0, inf)
presek teh dveh pa je potem (0, 1)
A ni tako, da imaš:
(x^3 - x^2) < 0
(-inf, 0) U (0, 1)
(x^2 + x) >= 0
(- inf, -1] U [0, inf)
presek teh dveh pa je potem (0, 1)
Zgodovina sprememb…
- spremenil: mlamat ()
Math Freak ::
Ok, poglejmo si, kaj se zgodi, če je
(x^3 - x^2) < 0 in (x^2 + x) >= 0
Za prvo dobiš: (-inf, 0) U (0, 1)
Za drugo pa: (-inf, -1] U [0, inf)
Presek obeh je (-inf,-1] U (0,1))
Potem rešiš še neenačbo in dobiš:
-x3 + x2 < x2 + x
-x3 - x < 0
x(x2 + 1) > 0
x > 0
presek x>0 in (inf,-1] U (0,1):
Prvi interval ti odpade in dobiš na koncu (0,1).
(x^3 - x^2) < 0 in (x^2 + x) >= 0
Za prvo dobiš: (-inf, 0) U (0, 1)
Za drugo pa: (-inf, -1] U [0, inf)
Presek obeh je (-inf,-1] U (0,1))
Potem rešiš še neenačbo in dobiš:
-x3 + x2 < x2 + x
-x3 - x < 0
x(x2 + 1) > 0
x > 0
presek x>0 in (inf,-1] U (0,1):
Prvi interval ti odpade in dobiš na koncu (0,1).
Math Freak ::
Sam kako se lahko hitro zmotiš s temi intervali. Še posebej, če jih maš po 20 na kupu =).
mlamat ::
OK. 1. in 2. točka sta mi jasni.
4. odpade ker je presek pogojev [1,inf) /\ (-1,0) prazna množica
Ni mi jasno samo še kako gre skup tole:
-x^3 + x^2 < -xˇ2 -x
-x^3 + 2x^2 + x < 0
x^3 - 2x^2 - x) > 0
x(x^2 - 2x - 1) > 0
x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2))) > 0
x > 0 ???
Pogoji:
x^3 - x^2 < 0
(-inf, 0) U (0,1)
x^2 + x < 0
(-inf, -1) U (-1, 0)
Presek pogojev: (-inf, -1) U (-1,0)
4. odpade ker je presek pogojev [1,inf) /\ (-1,0) prazna množica
Ni mi jasno samo še kako gre skup tole:
-x^3 + x^2 < -xˇ2 -x
-x^3 + 2x^2 + x < 0
x^3 - 2x^2 - x) > 0
x(x^2 - 2x - 1) > 0
x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2))) > 0
x > 0 ???
Pogoji:
x^3 - x^2 < 0
(-inf, 0) U (0,1)
x^2 + x < 0
(-inf, -1) U (-1, 0)
Presek pogojev: (-inf, -1) U (-1,0)
Zgodovina sprememb…
- spremenil: mlamat ()
Math Freak ::
Kdaj je x2 + x < 0?
ko je x znotraj (-1,0) (iz slike vidno).
x3 - 2x2 - x > 0
Dobiš interval (1-sqrt(2),0) (iz slike vidno)
x^3 - x^2 < 0
Dobiš interval (-inf, 0) U (0,1) (ta je v redu)
Potem pa samo še preseke nared. Mogoče maš polinom narobe narisan ali pa nisi dobro pogledal ali je večje od 0 ali manjše od 0?
ko je x znotraj (-1,0) (iz slike vidno).
x3 - 2x2 - x > 0
Dobiš interval (1-sqrt(2),0) (iz slike vidno)
x^3 - x^2 < 0
Dobiš interval (-inf, 0) U (0,1) (ta je v redu)
Potem pa samo še preseke nared. Mogoče maš polinom narobe narisan ali pa nisi dobro pogledal ali je večje od 0 ali manjše od 0?
mlamat ::
Zakaj si pri recimo x(x^2+1) < 0 zaključil, da je x < 0,
pri x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2))) > 0 pa x-a ne upoštevaš.
pri x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2))) > 0 pa x-a ne upoštevaš.
Math Freak ::
Aha, Tisto x2 + 1 se ne da razstavit v realni množici števil. Če bi reševala neenačbo znotraj kompleksnih množic, potem bi morala gledat še imaginarne enote in podobno. Torej ima ta enačba (x(x2+1)) za naju samo eno ničlo, to je x = 0. Torej je funkcija lahko do tam pozitivna in potem negativna ali pa obratno.
Sepravi, če si narišeš funkcijo x3 + x, boš videl, da leži pod x osjo od -inf do 0 oz. x < 0.
Vse te zadeve, ki te matrajo se lepo vidijo iz grafov =).
Sepravi, če si narišeš funkcijo x3 + x, boš videl, da leži pod x osjo od -inf do 0 oz. x < 0.
Vse te zadeve, ki te matrajo se lepo vidijo iz grafov =).
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
mlamat ::
OK, saj to razumem, vendar še vedno ne vem zakaj je pri drugi x > 0, če je pa pravi rezultat negativen.
Math Freak ::
Ne vem ker del naloge gledaš.
A to -x < 0 iz česar sledi x > 0?
x2+1 ... to bo zmeri pozitiven?
Morala bi skupi it korak za korakom čez celo nalogo, da vidim kje se ti je ustavilo.
A to -x < 0 iz česar sledi x > 0?
x2+1 ... to bo zmeri pozitiven?
Morala bi skupi it korak za korakom čez celo nalogo, da vidim kje se ti je ustavilo.
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
Math Freak ::
Iz x^3 - 2 x^2 - x > 0 si sam napisu da je interval x > 0, pravi je (1-sqrt(2),0), računsko boš težko vidu kje je večji od nič, pogledat moraš graf.
Math Freak ::
Aja tisto
x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2))) > 0
x > 0 ni prava rešitev.
Pravilno bi moralo biti
(1-sqrt(2),0) U (1+sqrt(2),inf)
Od prej si imel
(-inf, 0) U (0,1)
x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2))) > 0
x > 0 ni prava rešitev.
Pravilno bi moralo biti
(1-sqrt(2),0) U (1+sqrt(2),inf)
Od prej si imel
(-inf, 0) U (0,1)
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
Math Freak ::
A tle
f(x) = x^3 - 2 x^2 - x
f(-2)= -14
?
Al pa f(x) = x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2)))
f(-2)= (-2)(-3-sqrt(2))(-3+sqrt(2))=(-2)(9-2)=(-2*7)=-14
Si na ta graf mislu?
f(x) = x^3 - 2 x^2 - x
f(-2)= -14
?
Al pa f(x) = x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2)))
f(-2)= (-2)(-3-sqrt(2))(-3+sqrt(2))=(-2)(9-2)=(-2*7)=-14
Si na ta graf mislu?
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
mlamat ::
-x^3 + 2x^2 + x < 0
-(-2)^3 + 2(-2)^2 -2 < 0
8 + 8 - 2 < 0
14 < 0
Če pa daš je pa f(-2)= (-2)(-3-sqrt(2))(-3+sqrt(2))=(-2)(9-2)=(-2*7)=-14
Žal ne kapiram te logike. A se graf ne ohranja če množiš z -1.
-(-2)^3 + 2(-2)^2 -2 < 0
8 + 8 - 2 < 0
14 < 0
Če pa daš je pa f(-2)= (-2)(-3-sqrt(2))(-3+sqrt(2))=(-2)(9-2)=(-2*7)=-14
Žal ne kapiram te logike. A se graf ne ohranja če množiš z -1.
Zgodovina sprememb…
- spremenil: mlamat ()
Math Freak ::
Ne ... f(x)=x al f(x)=-x različna grafa
Dobiš use kontra intervale, kje je poz. in kje neg.
Dobiš use kontra intervale, kje je poz. in kje neg.
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
mlamat ::
OK. Hvala ti za izčrpna pojasnila. Mislim da mi je zdaj jasno. Sem pač bolj počasne sorte.
Tole me je čisto zmešal. :P
Tole me je čisto zmešal. :P
Math Freak ::
Ni panike, z veseljem pomagam če lahko. Verjetno sem te še sam malo zmedel, ker sem se na začetku lovil, kako se rešuje neenačba =). Ampak smo prišli skozi hehe.
lebdim ::
@mlamat,
lahko bi pa to neenačbo tudi takole gledal. v bistvu te pri tej prvotni neenačbi zanima, kje je |x3 - x2| < |x2 + x| ... v bistvu te zanima, na katerem intervalu ima graf prve funkcije manjše vrednosti od druge funkcije ... npr. v matematični program geogebra narišeš obe funkciji z absolutnima vrednostima, in potem pogledaš, kje leži graf prve funkcije POD drugo funkcijo ...
lahko bi pa to neenačbo tudi takole gledal. v bistvu te pri tej prvotni neenačbi zanima, kje je |x3 - x2| < |x2 + x| ... v bistvu te zanima, na katerem intervalu ima graf prve funkcije manjše vrednosti od druge funkcije ... npr. v matematični program geogebra narišeš obe funkciji z absolutnima vrednostima, in potem pogledaš, kje leži graf prve funkcije POD drugo funkcijo ...
MaFijec ::
Naloga je v resnici prav lahka, samo lotiti se je je treba pravilno.
Malenkost sistematičnosti, da naslednje sklepe, x = 0 očitno ni rešitev.
Vaše rešitve so take, kot da bi jih napisal Frankenstein :)
|x^3 - x^2| < |x^2 + x|
|x|^2 |x-1| < |x| |x+1|
|x| |x-1| < |x+1|
x > 1
x^2 - x < x + 1 ... x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2 < 0 ... skupaj 1 < x < 1 + sqrt(2)
0 < x < 1
x - x^2 < x + 1 ... -x^2 < 1 ... skupaj 0 < x < 1
-1 < x < 0
x^2 - x < x + 1 ... x^2 - 2x -1 = (x-1)^2 - 2 < 0 ... skupaj 1 - sqrt(2) < x < 0
za x < -1, sledi isti pogoj kot za x > 1, (x-1)^2 - 2 < 0, kar ne gre
Vse skupaj (1 - sqrt(2), 0) U (0, 1 + sqrt(2)).
Malenkost sistematičnosti, da naslednje sklepe, x = 0 očitno ni rešitev.
Vaše rešitve so take, kot da bi jih napisal Frankenstein :)
|x^3 - x^2| < |x^2 + x|
|x|^2 |x-1| < |x| |x+1|
|x| |x-1| < |x+1|
x > 1
x^2 - x < x + 1 ... x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2 < 0 ... skupaj 1 < x < 1 + sqrt(2)
0 < x < 1
x - x^2 < x + 1 ... -x^2 < 1 ... skupaj 0 < x < 1
-1 < x < 0
x^2 - x < x + 1 ... x^2 - 2x -1 = (x-1)^2 - 2 < 0 ... skupaj 1 - sqrt(2) < x < 0
za x < -1, sledi isti pogoj kot za x > 1, (x-1)^2 - 2 < 0, kar ne gre
Vse skupaj (1 - sqrt(2), 0) U (0, 1 + sqrt(2)).
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: MaFijec ()
Math Freak ::
Meni zgornji postopek ne izgleda kompliciran, same osnovne računske operacije so notri. Edino kar moraš znati je, da polinom narišeš in pogledaš, kako je predznačen.
Seveda se da s tem logičnim premislekom hitreje skozi.
Kako bi pa rešil recimo |x3+2x2-8x| > |x2-25| ? Bo dobil kak tak primer, kjer se ne da poenostavit pa bo konec veselja.
Seveda se da s tem logičnim premislekom hitreje skozi.
Kako bi pa rešil recimo |x3+2x2-8x| > |x2-25| ? Bo dobil kak tak primer, kjer se ne da poenostavit pa bo konec veselja.
MaFijec ::
Verjetnost za to je majhna :)
Če hočeš eksplicitno poiskat rešitve, potrebuješ zaključene algebraične formule za izračun ničel, le te obstajajo le do stopnje 4. Za stopnjo 4. so to Ferrerove, ki jih najbrž nihče ne zna na pamet, za stopnjo 3. pa Cardanove, ki so sicer malo bolj enostavne, vendar daleč od tega, da bi bile rešitve potem lepe.
Seveda se da tudi izraz
|x3+2x2-8x| > |x2-25| poenostaviti, delimo z x^2 in uvedemo novo neznanko y = 1/x
...
|x + 2 - 8/x| > |1 - 25/x^2|
...
|1/y + 2 - 8y| > |1-25y^2|
|(1 + 4y)(1/y -2)| > |(1-5y)(1+5y)|
A ni zdaj obravnava precej lažja?
Zakaj bi se ukvarjal s polinomi, če je z linearnimi členi lažje.
Če hočeš eksplicitno poiskat rešitve, potrebuješ zaključene algebraične formule za izračun ničel, le te obstajajo le do stopnje 4. Za stopnjo 4. so to Ferrerove, ki jih najbrž nihče ne zna na pamet, za stopnjo 3. pa Cardanove, ki so sicer malo bolj enostavne, vendar daleč od tega, da bi bile rešitve potem lepe.
Seveda se da tudi izraz
|x3+2x2-8x| > |x2-25| poenostaviti, delimo z x^2 in uvedemo novo neznanko y = 1/x
...
|x + 2 - 8/x| > |1 - 25/x^2|
...
|1/y + 2 - 8y| > |1-25y^2|
|(1 + 4y)(1/y -2)| > |(1-5y)(1+5y)|
A ni zdaj obravnava precej lažja?
Zakaj bi se ukvarjal s polinomi, če je z linearnimi členi lažje.
Vredno ogleda ...
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
|---|---|---|---|
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
| » | Racionalne funkcijeOddelek: Šola | 1192 (1085) | lebdim |
| » | [Mat] Enačba tangente,normale..Oddelek: Šola | 9699 (5557) | lebdim |
| » | integralOddelek: Šola | 3378 (1815) | Elyon8472 |
| » | Matematika, again :)Oddelek: Šola | 2465 (1919) | tinkatinca |
| » | Matematika - pomoč (strani: 1 2 3 )Oddelek: Šola | 26926 (23501) | daisy22 |