Matematika - Topologija

1. Naj bo A povezana množica v topološkem prostoru E. Naj za množico B v E velja: A podmnožica B podmnožica A-. Dokaži, da je potem tudi B povezana množica!

Dokaz tega najdes v vsaki boljsi knjigi na temo splosne topologije. Dokaz s protislovjem.
Denimo da B ni povezana. Torej obstajata odprti (v B) mnozici U in V, da je U \cap V = \emptyset (napaka se odpravlja) in
U\cup V = B (napaka se odpravlja). Sledi da je A = A\cap U \cup A\cap V (napaka se odpravlja) in A\cap U (napaka se odpravlja) in A\cap V (napaka se odpravlja) sta obe odprti v A. Ker A nima separacije mora biti (brez skode za splosnost) A\subseteq U (napaka se odpravlja).
Ker je mnozica U hkrati tudi zaprta v B je Cl_B(A) \subseteq U (napaka se odpravlja), ampak ker je B \subseteq Cl(A) (napaka se odpravlja) je Cl_B(A) = B (napaka se odpravlja) in zato B\subseteq U (napaka se odpravlja) kar pa je v protislovju z dejstvom da mnozici U in V tvorita separacijo prostora B.

2. Dokaži, da so povezanostne komponente zaprte množice.

Trivialno sledi iz prve tocke. Naj bo A komponenta za povezanost. Iz tocke 1 sledi da je Cl(A) (napaka se odpravlja) tudi povezana in po definiciji maksimalnega elementa je A = Cl(A) (napaka se odpravlja) kar pomeni da je A zaprta mnozica.

Ali so tudi odprte?

V splosnem ne. Ce je prostor tudi lokalno povezan pa so.
V namigu dan prostor je popolnoma nepovezan (komponente so tocke). Vsi singletoni razen nicle so tudi odprti. Da nicla ni odprta dokazes po definiciji inducirane topologije.

Kakšna je definicija maksimalnega elementa?

Če imaš dano relacijo delne urejenosti (v tem primeru je to vsebovanost množic) je maksimalen element tak, da "ni noben večji", bolj formalno, je m maksimalen, če velja \forall x \in X : m \leq x \Rightarrow x = m (napaka se odpravlja), kjer je \leq (napaka se odpravlja) relacija delne urejenosti.
Komponente za povezanost so definirane kot maksimalne (glede na relacijo vsebovanosti) povezane podmnožice.

Definicija inducirane topologije: če imamo množico A v topološkem prostoru (E, tau), potem je tau v množici A inducirana topologija (sestavljajo jo pa U presek A, kjer je U element tau). Je to ok definicija?

Če imaš topološki prostor (E, \tau) (napaka se odpravlja) in A podmnožico E je inducirana topologija na A, \tau_A = \{A \cap U | U \in \tau\} (napaka se odpravlja)

Kako zdej iz tega dokažem odprtost ničle?

Ničla NI odprta in ker je prostor poponoma nepovezan to pomeni da komponente za povezanost v splošnem niso odprte.
Da ni odprta dokažeš tako da vzameš neko poljubno odprto okolico U_A (napaka se odpravlja). Po definiciji inducirane topologije obstaja neka odprta množica U na R, da je U_A = U \cap A (napaka se odpravlja) (A je tvoja množica). Ker je U odprta in vsebuje 0 je okolica za 0 (na R), vsaka okolica za 0 pa vsebuje vse 1/n od nekega n naprej. Od tod sledi da U_A (napaka se odpravlja) ni singleton.

Mogoče malo lažji dokaz je tako:
Če bi bila ničla odprta, bi bila po definiciji množica \{\frac{1}{n}\ |\ n\in\mathbb{N}\} (napaka se odpravlja) zaprta, ker zaprte množice vsebujejo stekališča zaporedij takoj sledi da ta množica ne more biti zaprta, ker lahko vzameš zaporedje 1/n, ki očitno nima stekališča.