Ostanek pri deljenju

Imam število
15^(17^19) in ga delim s 13. Zanima me kakšne ostanek dobim?

Naj bi šlo tkole:

15^0 = 1 (mod 13)
15^1 = 2 (mod 13)
15^2 = 4 (mod 13)
15^3 = 8 (mod 13)
15^4 = 3 (mod 13)
15^5 = 6 (mod 13)
...

Ampak to se nč ne ponaula da bi pač recimo zvedu kok je ostanek pr 15^17.
Kko bi pa pol še za ^19 uporabu?

Sem hotel že vprašati pa sem, uf, skapiral.

Torej imamo _17^19_ 15 med sabo pomnoženih. Na vsakih _dvanajst_ 15 (red el. 15) dobimo 1. Torej delimo 17^19 z 12, da si odmislimo teh _dvanajst-n_ 15, ki vrnejo 1. In tako nam ostane le še _pet_ 15 pomnoženih med sabo, kar je sedaj za izračun enostavneje.

sherman, kko si pa dubu to?

15^12 = 1 (mod 13)

17^19 = 5 (mod 12)

15^(17^19) = 15^5 = 6 (mod 13)

A s se tm zmotu (mod 12) ?...Če si se...Kko to sploh zračunaš, k moj kalkulator ne zmore več da bi 17^19 potenciru..

Kaj pa pol k potenciram 4^19 Kaj mi to pove?

Mislm pa tut tko nekak si ne predstaulam da bi tole brez kalkulatorja rešu. K še zdj ne vejo a ga bomo lahko mel al ne ..na kolokviju

A s se tm zmotu (mod 12) ?

Ne, nisem se zmotil.

15^(17^19) ni ravno najlepša številka, zato se je je potrebno lotiti malo bolj prefinjeno.
Torej:
15^0=1 (mod 13)
15^1=2 (mod 13)
...
15^2 mod 13 lahko izračunaš kot 225 mod 13, lahko pa si bolj prebrisan, in izračunaš ((15^1 mod 13) * 15) mod 13, kar je lažje, ker 15^1 mod 13 že veš da je 2. To deluje zato, ker lahko vsako število zapišeš kot 13*k+o. Ko to potem množiš s 15 dobiš 13*15*k + 15*o, ampak prvi sumand je deljiv s 13, zato je njegov ostanek 0, torej te zanima samo drugi sumand (15*o).
To počneš dokler ne prideš zopet do 1. V tem primeru je 15^12 = 1. Ker vsakič, ko 12 petnajstic zmnožiš s sabo prideš na isto, zato moraš zdaj gledat samo, koliko je ostanek pri deljenju 17^19 z 12. Tukaj ponoviš postopek in ugotoviš, da je 17^19 = 5 (mod 12). Zdaj samo še izračunaš koliko je 15^5 mod 13.

Lahko pa, kot je predlagal Thomas, zadevo "malce" poenostaviš. Da zadeva deluje se lahko prepričaš tako, da zapišeš število kot m*k + o in malce poračunaš.
Torej lahko izračunaš 2^(5^19) mod 13. To se da pa tudi brez kalkulatorja zelo enostavno izračunat.

Ker rešivne iščeš v celih številih, je to število 2. Rešitev je neskončno mnogo.
Do rešitve prideš s pomočjo tega nastavka :
6x=3 (mod(9) oz 6x-3=9k oz. 6x-9k=3

Evo sm zvedu rešitev....

Poišči vse rešitve enačbe 6*x = 3 (mod 9) .

a) Kateri je najmanjši x, ki reši enačbo?
b) Koliko rešitev ima enačba

a) Delimo z največjim skupnim deliteljem:

6 * x = 3 (mod 9) /:3
2 * x = 1 (mod 3)

x= 2
Ker je 2*2 = 4 ....4/3 = 1 ostanek 1

b) Ker smo lahko delili s 3, ima enačba 3 rešitve.