matematičen problem

Pomagaj si s temle: x^1/x ima maximum pri e.

Pri x=1/e

Evo, se jest bom mal vesleja pokvaru. :D

Torej, upam da odvode znas.
Ekstreme funkcij se isce z odvodi (tam kjer je odvod funkcije enak 0). Zato moras funkcijo y=x^x najprej odvajati. To ni elementaren odvod, zato najprej obe strani logaritmiras:
(osnova logaritma je poljubna, ampak verjemi na besedo, da je najboljsa osnova e, ker je potem racun lazji, saj ni treba pretvarjati logaritmov iz ene na drugo osnovo).
torej za osnovo logaritma vzamemo e in logaritmiramo:
log(y) = log(x^x)

eksponent lahko neses pred logaritem:
log(y) = x*log(x)
obe strani sedaj odvajas po x (PAZI! Na levi imas sestavljeno funkcijo : log(y), y pa je odvisen od x, zato moras posredno odvajati):
1/y * y' = log(x) + x * 1/x
1/y * y' = log(x) + 1

pomnozis obe strani enacbe z y:

y' = y * (log(x) + 1)

in naposled se vstavis namesto y x^x, saj velja y=x^x (glej zacetek):

y' = x^x * (log(x) + 1)

In si dobil odvod funkcije (y').


No, ekstrem pa poisces tako, da pogledas, kje je odvod enak 0. Nastavis enacbo:

0 = x^x * (log(x) + 1)

delis obe strani z x^x (x je pozitivno stevilo, torej x^x ne more biti 0, torej je dovoljeno deliti z x^x):

0 = log(x) +1
log(x) = -1

=> x = e^(-1) = 1/e

(zdej vidis, zakaj smo za osnovo logaritma takrat vzeli e - odvajanje in potem racunanje je bilo bolj enostavno)

Funkcija ima najmanjso vrednost pri 1/e , kot smo dobili rezultat. OK, sicer bi lahko tale ekstrem bil tudi maximum, ampak s poskusanjem lahko preveris, da ce vstavis karkoli drugega pozitivnega, dobis vec od 1/e.
(formalno pa bi moral poiskati se drugi odvod in pokazati, da je funkcija v okolici tocke 1/e konveksna, torej je najdeni ekstrem minumum in ne maximum - sicer pa je to tudi razvidno ze iz besedila naloge, ker te sprasuje po minmumu, nasel si pa tocno en ekstrem in ne vecih...)

A je dost zapleten? >:D