zaporedje

Izračunaj limito, ko gre n->neskončno... Če limita eksistira, zaporedje konvergira. Poglej v Bronštajna za konvergenčne kriterije... (za izračun limite)...

Člene zaporedja bom označil z a_n.
Najprej izračunaš limito tako da v enačbo namesto a_n in a_n-1 vržeš a:
a=(1/4)*a+1; dobiš limito a=4/3. Rabiš še dokazat, da je to res limita:

1. z indukcijo dokažeš, da so vsi členi zaporedja večji od 4/3
2. dokažeš, da je zaporedje padajoče:
a_n-1 - a_n=a_n-1 - (1/4*a_n-1+1)=3/4*a_n-1 - 1>3/4*4/3 - 1>0
3. ker imaš navzdol omejeno padajoče zaporedje, je naloga rešena

PS: limite v resnici ne rabiš računat, ampak če je ne izračunaš, je prvi korak res nekako za lase privlečen