naslednji dve nalogi iz Matematike 2

živjo, pomagam enemu sosedu, vendar sem to snov delal že 5 let nazaj in se res ne spominjam.

1. a) Izračunaj integral

\int_0^1(\frac{x}{1 + \sqrt{1-x}})^{3\over2}

s pomočjo funkcij

\Gamma

in

\textit{B}

.
b) Dan je integral s parametrom

F(t) = \int_1^2{\arctan(\frac{t}{x})dx}

. Izračunaj njegov odvod

F'(t)

.

a mi eden lahko pokaže pot, kako se rešijo te naloge? Math Freak? poskusi kodo prepisati semle...

saj sem napisal, v tist link kopiraj kodo in se ti bo prikazalo, kako izgledajo funkcije ...

MathFreak, narobe imaš. Sam še sproti preverjam v Mathemtici. Rezultat je 8/35.
Moj postopek:
Uporabil sem substitucijo \sqrt{1-x} = y in dobljen izraz čimbolj poenostavil: (1-y^2) in (1+y) se pokrajša v 1-y.
Dobil sem ravno obratno kot ti: y*(1-y)^3/2, vendar je itak B(x,y) = B(y,x). Pravilni rezultat je 2B(2,5/2) = 8/35 [pri (t-1) imaš eksponent 1?, kar da 2].

Druga naloga še sledi

Edit:
Tudi reštev druge:
Po t lahko odvajaš pod integralskim znakom. Dokaza ne vem, verjetno pa sledi iz tega, da lahko v večini primerov obrneš vrstni red integracij.
Dobiš:

\int_1^2 \frac{1}{x(1+(t/x)^2)}

pomnožiš zgoraj in spodaj z x:

\int_1^2 \frac{x}{x^2 + t^2}

To je splošno znani integral 1/2 Log[t^2 + x^2] (potem vstaviš še meje). Sicer pa uporabiš substitucijo x = \sqrt{y^2 - t^2}, vendar po tem postopku dobim Log[t^2 + x^2], torej 2x preveč. Hm.

Aha, odkril sem faktor 2!
Ko vstavimo substitucijo

x = \sqrt{y^2 - t^2} 

v izraz

\int_1^2 \frac{x}{x^2 + t^2}

nam preostane integral

\int \frac{dy}{y}

z mejama

y = \pm \sqrt{4+t^2} \quad\mathrm{in}\quad y = \pm \sqrt{1+t^2}.

Odločimo se za + vejo (lahko bi izbrali tudi -). Zmotil sem se, ko nisem upošteval korena pri mejah.
Integral je enak Log[y], ko vstavimo meje, dobimo:

\frac{1}{2}\log \Big( \frac{4+t^2}{1+t^2} \Big)

Seveda, če zapišeš korene v logaritmu, spredaj nimaš faktorja 1/2.

PS: pod splošno znani integral sem mislil, da se to pogleda v priročnik. V tem primeru bi lahko tudi pogledali za integral Arctan[t/x] Pri matematiki jih pa ponavadi ne smeš imeti na izpitu.

Edit: Majhna napakica.

jaz sem dobil:

 \int_1^2{\frac{x}{x^2 + t^2}}dx = \frac{1}{t^2}\int_1^2{\frac{x}{(\frac{x}{t})^2+1}} dx = 

\\ u = \frac{x}{t} \\
du = \frac{1}{t}dx \\
dx = t du \\ 
x = ut 

\\ \int_{\frac{1}{t}}^{\frac{2}{t}}\frac{u*du}{u^2 + 1} = \frac{1}{2} \ln\left|u\right| = \frac{1}{2}\ln{\frac{2}{t}} - \frac{1}{2}\ln{\frac{1}{t}} 

ja ta snov naj bi bila snov integrala po parametru (nekaj tazga). zame je pa parameter realno število....

@lebdim, na koncu si naredil napako. Integral:

\int_{\frac{1}{t}}^{\frac{2}{t}}\frac{u*du}{u^2 + 1}

je enak

\frac{1}{2} \log (1+u^2)

in ne

\frac{1}{2} \log u.

Odvod pod integralom ni tako enostaven: Wiki, vendar za naš primer sta a(x) in b(x) konstanta (t in x sta ravno obrnjena na wikipediji).

Hja, v matematiki je z log vedno označen naravni logaritem, torej ln, za ostale pa se označi bazo, torej log₁₀, log₂. Sicer pa imaš prav glede odvoda.

Edit: Pismo, moram začet razmišljati, preden objavim post! Dodal zadnjo poved.

1.)

živjo,
a ni

x^7 = (x^2)^{\frac{7}{2}}

?

sori, sem že ugotovil ... forget it xD