Matematika kompozitum funkcij

če prav razumem, bi ti rad pogledal za domeno in kodomeno kompozituma ?

PRIMER 1:
f(x) = x + 2
g(x) = (x + 3) / (x - 1)
____________________________________
f0g(x) = f(g(x)) = f((x + 3)/(x - 1)) = (x + 3) / (x - 1) + 2 = (x + 3 + 2(x -1)) / (x - 1) = (3x + 1)/(x - 1)

D_f = R \ {1}, ker gre za racionalno funkcijo z ničlo v -1/3 in polom v 1. to pomeni, da je definicijsko območje: vsa realna števila brez 1. Zaloga vrednosti (kodomena) pa so vsa realna števila.

g0f(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = (x + 2 + 3) / (x + 2 - 1) = (x + 5) / (x + 1)

Tukaj je pa D_f = R \ {-1}, saj gre za racionalno funkcijo z ničlo -5 in polom v -1.
Zaloga vrednosti pa so vsa realna števila.

PRIMER 2:
f(x) = x² - 4
g(x) = sqrt(x)
_________________________________________
f0g(x) = f(g(x)) = f(sqrt(x)) = (sqrt(x))² - 4 = x - 4

Tukaj je D_f = Z_f = R, vsa realna števila, ker gre za linearno funkcijo x - 4.

g0f(x) = g(f(x)) = g(x² - 4) = sqrt(x² - 4)

D_f -> tam, kjer je x² - 4 >= 0.
dobiš dve ničli: x₁ = 2 in x₂ = -2.
Torej je D_f: x element [-inf, -2] U [2, inf]; pri čemer inf je neskončno.
Z_f = R⁺ -> vsa realna pozitivna števila

izračunal si prav. vedno poglej, kakšno funkcijo si dobil za kompozitum.

za h(x) = f(g(x)) = (x²) / (2x² - 1) je D_h = R \ {+sqrt(1/2), -sqrt(1/2)}
in Z_h = R, saj gre za racionalno funkcijo.

za i(x) = g(f(x)) = -x² - 2x si dobil navadno kvadratno parabolo. za njo pa sam poišči D_i in Z_i.

ni za kaj, v kolikor lahko, rad pomagam ...

ne štekam tvoje naloge. kaj je bistvo te naloge?

ja, taki grafi z istim imenom funkcije te bodo samo medli.
raje reči:
f(x) = ln(g(x)) = ln((x-1)² / (x - 3)²)) = ln((x² - 2x + 1)/(x² - 6x + 9))

h(x) = e^g(x)

h(x) = e_{(x-1)²/(x-3)²}

predstavljaj si, da je to zgoraj, drugače ne moreš oblikovat dvakrat pisave zgoraj. vendar moraš biti ti že na faksu, da rišeš take funkcije. mislim, da se v 4. letniku gimnazije ne reši tako sestavljenih funkcij.

drugače sem že malo pozabil iz analize 1, kako se rišejo taki grafi. pomoje posebej nariši eksponentno funkcijo e^x, potem pa še racionalno funkcijo ((x² - 2x + 1) / (x² - 6x + 9)) ter to potem združi in preveri še svoj graf z geogebro.

za vodoravno asimptoto vedno izračunaš limito funkcije, ko gre x proti neskončno.

če vstaviš neskončno v limito in če boš dobil [0/0] ali [neskončno/neskončno], boš lahko uporabil L'Hospitalovo pravilo, kjer boš posebej odvajal števec in posebej imenovalec in izračunal naprej.