Polinomi

Živjo, pri domači nalogi sem naletela na težavo:
Pravi da zapiši polinom 3 stopnje, ki ima enojni ničli 0 in 2 ter je
p(1)=-3 in p(-1)=3
Vstavila sm 0 in 2 v razcepno obliko: an(x-0)x(x-2)x(x-x3)
in ko sem probala izrazit vn x3 tako da sam vstavila p(1) in p(-1) kot 2 enačbi, ki sem jih zdelila da se rešim an, pridem
do napačne rešitve.
Končni polinom naj bi prišel: p(x)=x(x-2)(x+2)=x3-4x
Hvala

en nasvet:

brezveze kompliciraš na tak način. enostavno zapišeš polinom tretje stopnje kot p(x) = Ax³ +Bx² +Cx + D. Veš, da ima po osnovnem izreku algebre lahko največ tri ničle.

1. način: če ima polinom ničli 0 in 2, to pomeni, da je v x = 0 in x = 2 tam vrednost 0.
tako dobiš: p(0) = 0; p(2) = 0; p(1) = -3 in p(-1) = 3. Te vrednosti vstaviš v nastavek za polinom. Sicer boš dobila sistem 4x4, vendar bi ga po mojem mnenju znala rešiti.

2. način: uporabiš Hornerjev algoritem, računaš vrednosti v točkah 0, 2, 1 in -1. vendar boš znova na koncu dobila nek linearni sistem 4x4, v bistvu istega kot zgoraj.

3. način: ker veš, da ima polinom enojni ničli 0 in 2, ga lahko zapišeš v obliki: p(x) = A*x*(x - 2)*(x - E); pri čemer je E neznana ničla. Sedaj pa ta polinom razviješ v obliko p(x) = Ax³ - (2A + AE)x² + 2AEx. Sedaj pa v ta polinom vstaviš še pogoje za x = 1 in x = -1, ter dobiš ven rešitvi za A in E.

v redu, če si nalogo že rešila ... je razlaga jasna?