Forum » Šola » problem Permutacijske grupe
problem Permutacijske grupe
Mahara ::
Živijo.
Prosila bi za pomoč pri nalogi iz Permutacijskih grup.
Tetraeder prisekamo tako, da pri vsakem izmed štirih oglišč odrežemo
pravilno tristrano piramido (vse enake velikosti) in to tako, da ima
dobljeno telo 12 oglišč. Na koliko bistveno različnih načinov lahko
obarvamo ploskve tega prisekanega tetraedra, če imamo na voljo belo,
modro, rdečo in zeleno barvo? Pri izračunu uporabite Polya-Red eld-
ov izrek.
Če mi lahko kakorkoli kdo pomaga bom zelo vesela. Ali pa vsaj namig kako naj zrcalim/rotiram ta prisekan tetraeder.
Hvala.
Prosila bi za pomoč pri nalogi iz Permutacijskih grup.
Tetraeder prisekamo tako, da pri vsakem izmed štirih oglišč odrežemo
pravilno tristrano piramido (vse enake velikosti) in to tako, da ima
dobljeno telo 12 oglišč. Na koliko bistveno različnih načinov lahko
obarvamo ploskve tega prisekanega tetraedra, če imamo na voljo belo,
modro, rdečo in zeleno barvo? Pri izračunu uporabite Polya-Red eld-
ov izrek.
Če mi lahko kakorkoli kdo pomaga bom zelo vesela. Ali pa vsaj namig kako naj zrcalim/rotiram ta prisekan tetraeder.
Hvala.
joze67 ::
Če nihče noče ugrizniti... bom jaz, čeprav sem v temle že zarjavel.
Barvaš telo z 2x4 ploskvami - štirje trikotniki in štirje šestkotniki. Simetrije ostanejo tiste od tetraedra, zato je ciklična grupa podobna. Ker pa je ploskev več, se spremeni:
Z(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{12}(x_1^6+8x_1^2x_3^2+3x_2^4) (napaka se odpravlja)
S tem, da sem se lahko zmotil :)
Število barvanj s štirimi barvami je potem po P-R izreku Z(4,4,4)=\frac{1}{12}(4^8+8\cdot 4^2\cdot 4^2+3\cdot 4^4)=5696 (napaka se odpravlja).
Barvaš telo z 2x4 ploskvami - štirje trikotniki in štirje šestkotniki. Simetrije ostanejo tiste od tetraedra, zato je ciklična grupa podobna. Ker pa je ploskev več, se spremeni:
Z(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{12}(x_1^6+8x_1^2x_3^2+3x_2^4) (napaka se odpravlja)
S tem, da sem se lahko zmotil :)
Število barvanj s štirimi barvami je potem po P-R izreku Z(4,4,4)=\frac{1}{12}(4^8+8\cdot 4^2\cdot 4^2+3\cdot 4^4)=5696 (napaka se odpravlja).
Mahara ::
HVALA!!
Če prav razumem, vzamem toge simetrije tetraedra. Torej:
Če prav razumem, vzamem toge simetrije tetraedra. Torej:
identiteto,
rotacijo 2pi/3 (take rotacije so 4 in če sučemo še v nasprotno smer dobimo še 4 nove. Skupaj jih je 8),
in še zracaljenje (ker imamo v tetraedru 3 pare nesosednjih stranic imamo 3 elemente zrcaljenja? )
RO87 ::
Zdravo!
Tudi jaz imam problem v zvezi s permutacijskimi grupami, in sicer moram izračunati na koliko bistveno različnih načinov lahko pobaravmo z največ n barvami pravilno 6-strano prizmo, pri čemer barvamo ploskve. Dodatni pogoj pa je, da sta lahko največ 2 ploskvi bele barve. Rešiti jo moram s pomočjo Burnside-Frobeniusove leme. Zanima me, če bi mi kdo znal pomagati. Že vnaprej hvala za pomoč.
Tudi jaz imam problem v zvezi s permutacijskimi grupami, in sicer moram izračunati na koliko bistveno različnih načinov lahko pobaravmo z največ n barvami pravilno 6-strano prizmo, pri čemer barvamo ploskve. Dodatni pogoj pa je, da sta lahko največ 2 ploskvi bele barve. Rešiti jo moram s pomočjo Burnside-Frobeniusove leme. Zanima me, če bi mi kdo znal pomagati. Že vnaprej hvala za pomoč.
joze67 ::
Izračunati moraš ciklični indeks 6-strane pravilne prizme. Upoštevaš, da je grupa simetrij generirana (I think so) z vrtenjem okoli osi skozi osnovni ploskvi A=(1 2 3 4 5 6)(7)(8) in vrtenja okoli osi skozi par nasprotnih stranskih ploskev B=(1)(2 6)(3 5) (4) (7 8) in da je ciklični indeks produkta produkt cikličnih indeksev.
Ko imaš enkrat ciklični indeks, uporabiš zamenjavo (Polya) a_1->b+c, a_2->b^2+c^2, izračunaš. Koeficient pri členu b^2c^4 pove, koliko različnih barvanj je, ko imaš dve ploskvi beli in 4 črne
Ko imaš enkrat ciklični indeks, uporabiš zamenjavo (Polya) a_1->b+c, a_2->b^2+c^2, izračunaš. Koeficient pri členu b^2c^4 pove, koliko različnih barvanj je, ko imaš dve ploskvi beli in 4 črne
RO87 ::
Zdravo!
Hvala za nasvet, zanima me če sta to edini dve možni operaciji nad prizmo, torej vrtenje okoli osi na osnovni ploskvi in vrtenje okoli osi skozi par nasprotnih stranskih ploskev. Recimo ne pridejo v poštev rotacije skozi telesne diagonale ali kaj podobnega. Hvala za nasvete.
Hvala za nasvet, zanima me če sta to edini dve možni operaciji nad prizmo, torej vrtenje okoli osi na osnovni ploskvi in vrtenje okoli osi skozi par nasprotnih stranskih ploskev. Recimo ne pridejo v poštev rotacije skozi telesne diagonale ali kaj podobnega. Hvala za nasvete.
RO87 ::
Aha pa še to nad katero grupo pa delujemo, glede na to da so simetrije bi rekel, da je to grupa simetrij S4, ali je to grupa A4 in so torej naše simetrije: id, vrtenje okoli osi na osnovni ploskvi za kot pi/3 in za kot 2pi/3, potem pa imamo 3 različna vrtenja okoli stranski ploskev, enkrat fiksiramo ploskvi (1)(4), drugič (2)(5) ter (3)(6) ostale ploskve pa rotiramo med seboj.
Vredno ogleda ...
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
|---|---|---|---|
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
| » | Ali se luna vrti okrog svoje osi?Oddelek: Znanost in tehnologija | 6881 (5492) | TESKAn |
| » | [Naloga] MatematikaOddelek: Šola | 1990 (1497) | lebdim |
| » | matematika, geometrije v ravnini, telesaOddelek: Šola | 3262 (2631) | manniac |
| » | Matematika, kaj pa drugega..Oddelek: Šola | 1247 (937) | TekO |
| » | krogla + tetraederOddelek: Loža | 1708 (1563) | Thomas |