Tridimenzionalni fraktali

Fraktali so zanimive matematične strukture, ki so pozornost matematikov pritegnile v zadnjih desetletjih preteklega stoletja, čeprav so njim podobne strukture študirali že v 19. stoletju. Za fraktalne je značilno, da vsebujejo podrobnosti pri poljubni povečavi, da so natančno ali statistično sampodobni, da so definirani rekurzivno ali pa da je njegova razsežnost večja od topološke razsežnosti. Resnejše raziskovanje se je razmahnilo po letu 1975, ko je termin fraktal skoval ameriški Francoz Benoît Mandelbrot. Prav po njem se imenuje ena izmed najbolj znanih fraktalnih množic.

Poglejmo si rekurzivno enačbo z_n = z_{n-1}^2 + c (napaka se odpravlja), kjer sta z_0 (napaka se odpravlja) in c (napaka se odpravlja) kompleksni števili. Zanimiva je podmnožica elementov { z_0 (napaka se odpravlja), c (napaka se odpravlja)}, za katere je rezultat rekurzije končen. Tako izbrana množica je žal štiridimenzionalna, zato je predstavitev nekoliko okorna. Mandelbrotova množica je njena podmnožica, kjer držimo z_0 (napaka se odpravlja) konstanten in enak 0 ter variiramo c (napaka se odpravlja), obratna izbira, kjer je c (napaka se odpravlja) določen in enak nekemu k, pa se imenuje Juliajeva množica.

Matematiki so poskušali dvodimenzionalno Mandelbrotovo množico prevesti tudi v tri dimenzije, kjer je rezultat če ne z uporabnega pa z estetskega vidika gotovo dih jemajoč. Da smo povsem matematično korektni, je treba priznati, da rezultati niso stroga transformacija dvorazsežne Madelbrotove množice v tri dimenzije, saj dveh komponent kompleksnih števil ne moremo enostavno spremeniti v tri. Prav tako so tridimenzionalni fraktali že poznana zadeva, čeprav večina ni ravno osupljiva. So pa oviro obšli tako, da so kvadriranje, ki je v kompleksni ravnini vrtenje z raztegom, zamenjali s potenciranjem višje stopnje in vrtenjem okrog kotov \phi (napaka se odpravlja) in \theta (napaka se odpravlja) v sferičnem koordinatnem sistemu. Rezultati so na meji med matematiko in umetnostjo, zato si poglejmo računalniške izrise. Več o tem.